Forma general de la ecuacion de una recta.

 En  los  articulos precedentes hemos visto que la ecuaci6n de una recta cualquiera , en el
plano coordensdo , es de la forma lineal

 

La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:   TEOREMA La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.   Demostración  i.   Se puede Considerar varios casos: A = 0, B diferente de 0.        En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde   (2) La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es  (fig. 4.11)                       fig. 4.11. ii. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde  (3) La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es  (fig. 4.12)                 fig. 4.12. iii. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma: (4) La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es  y cuyo intercepto con el eje y viene dado por    (fig. 4.13) fig. 4.13. obeservaciones     i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal           manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos           de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes: (1A) (1B) (1C)          En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos          constantes independientes, por ejemplo  en (1A)   Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.      iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general            Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m           viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y            viene dado por .          Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.