domingo, 12 de agosto de 2012



 FAMILIA DE LINEAS RECTAS 
En el Artbulo 29 vimos que una recta y su ecuaci6n quedan determinadas perfectamente por dos condiciones independientes. Por tanto, una recta que satisface solamente una condici6n no es una recta linica ; hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tiene la propiedad comb asociada con esa linica condici6n. De acuerdo con esto podemos formular la siguiente
 

DEFINICIÓN   .-La totalidad de las rectas que satisfacen una uinica condici6n geometrica se llama familia o haz de rectas.
 


 videos de ejemplos de familias de rectas






 .
 .
   

aqui un pequeño video sobre la ecuacion normal de una recta 
 

 Forma Normal de la ecuación de la recta 

Ecuación normal de la recta

dibujo
Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:
vector = (x - a1, y - a2)
El vector n es un vector unitario y perpendicular a r.
Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).
Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán
n
Como vector y n son perpendiculares, su producto escalar es cero:
Operaciones
Operaciones
Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:
Operaciones
Ecuación normal

Ejemplo

Hallar la ecuación normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0.
ecucación normal
ecucación normal

Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:
Ecuación normal
Ecuación normal

Ejemplo

Hallar la ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio.
punto medio
vector
Este vector es perpendicular a la recta buscada.
ecuación normal

Cosenos directores

Las componentes de un vector unitario en una base ortonormal base ortonormal, son el coseno y el seno que forma con el vector i de la base.
cosenos directorescosenos directores
Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta, ya que la segunda puede escribirse como: sen α = cos(90º - α).

Forma general de la ecuacion de una recta.

 En  los  articulos precedentes hemos visto que la ecuaci6n de una recta cualquiera , en el
plano coordensdo , es de la forma lineal

 



La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. 


La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
  TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.
 
Demostración
 i.   Se puede Considerar varios casos:
A = 0, B diferente de 0.
       En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde
 
(2)
La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es  (fig. 4.11)
                      fig. 4.11.

ii. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde 
(3)



La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es  (fig. 4.12)
                fig. 4.12.

iii. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:
(4)


La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es  y cuyo intercepto con el eje y viene dado por    (fig. 4.13)
fig. 4.13.
obeservaciones

    i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal 
         manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos 
         de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:
(1A)
(1B)
(1C) 
        En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos 
        constantes independientes, por ejemplo  en (1A)
 
Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.

     iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general 
          Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m 
         viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y  
         viene dado por .
         Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.


 

 

Calcular bisectrices y coordenadas del incentro

Alturas del triángulo 

Alturas del triángulo 

 Alturas del triángulo



        ALTURAS

Calcular alturas y coordenadas del ortocentro

Alturas del triángulo 

 Alturas del triangulo.

 Alturas del triángulo.

 

 

 


  
 MEDIANA

Calcular madianas
 

medianas


Calcular medianas